Le cube en bois

L’artisan a bien fabriqué un cube, donc on peut supposer $x>0$.
Ainsi, $x=x^{3}/x^{2}$ est rationnel puisque $x^{2}\in\N$ et $x^{3}\in\N$ par hypothèse.
On écrit le rationnel $x$ sous la forme $x=p/q$ avec $p\in\N$ et $q\in\N$ non nuls, et $p$ et $q$ premiers entre eux.
Comme $x^{2}=p^{2}/q^{2}$ est entier, on a $q\mid p^{2}$. Mais si $q\neq 1$, alors il existe un nombre premier $r$ tel que $r\mid q$.
Dans ce cas, $r\mid p^{2}$ car $q\mid p^{2}$, puis $r\mid p$. Ainsi, $r\mid p$ et $r\mid q$ donc $r$ divise le pgcd de $p$ et $q$ qui vaut $1$, ce qui est impossible puisque $r$ est premier.
Au final, $q=1$ et $x=p$ est un entier.