The wooden cube

The surface of a square appearing on the cube is $x^2$ and the volume of the cube is $x^3$. They are all integers by assumption. We will show that $x$ is indeed an integer.

Since $\displaystyle x=\frac{x^3}{x^2}$, it must be rational. Let $p$ be a prime number and $v_p(y)$ the $p$-adic valuation of a rational number $y$. Then one gets that $v_p(x)$ is well-defined and that $v_p(x^2)=2v_p(x)$ is an even positive integer because $x^2$ is a positive integer. Hence, for all prime $p$, $v_p(x)$ is a positive integer. Hence $x$ is an integer.

L’artisan a bien fabriqué un cube, donc on peut supposer $x>0$.
Ainsi, $x=x^{3}/x^{2}$ est rationnel puisque $x^{2}\in\N$ et $x^{3}\in\N$ par hypothèse.
On écrit le rationnel $x$ sous la forme $x=p/q$ avec $p\in\N$ et $q\in\N$ non nuls, et $p$ et $q$ premiers entre eux.
Comme $x^{2}=p^{2}/q^{2}$ est entier, on a $q\mid p^{2}$. Mais si $q\neq 1$, alors il existe un nombre premier $r$ tel que $r\mid q$.
Dans ce cas, $r\mid p^{2}$ car $q\mid p^{2}$, puis $r\mid p$. Ainsi, $r\mid p$ et $r\mid q$ donc $r$ divise le pgcd de $p$ et $q$ qui vaut $1$, ce qui est impossible puisque $r$ est premier.
Au final, $q=1$ et $x=p$ est un entier.