Le drame du gardien de nuit

1. Disons que la première clef n’ouvre pas la porte, elle fait donc parti des $n-1$ clefs qui n’ouvre pas la porte parmi les $n$. Cette événement a donc une probabilité $\frac{n-1}{n}$ de survenir.
   La seconde clef n’ouvre toujours pas la porte avec la même probabilité, ce qui rajoute un facteur $\frac{n-1}{n}$. On itère ce raisonnement jusqu’à la $k-1$-ème clef qui n’ouvre pas la porte. Tout cela est donc un événement de probabilité $\left(\frac{n-1}{n}\right)^{k-1}$, où l’on peut tout multiplier par indépendance.
   Mais la $k$-ème clef va ouvrir la porte ! Ainsi cet événement a une probabilité $\frac{1}{n}$ d’advenir car on choisit une clef sur $n$.
   Finalement, la probabilité que la $k$-ème clef ouvre la porte suit une loi géométrique de paramètre $\frac{1}{n}$, le résultat est donc $\left(\frac{n-1}{n}\right)^{k-1}\,\frac{1}{n}$.

2.La différence maintenant est que le gardien fait attention à la clef qu’il utilise. Disons que la première clef n’ouvre pas la porte, cela a donc une probabilité $\frac{n-1}{n}$ d’arriver, rien ne change pour l’instant.
Mais maintenant on met cette mauvaise clef de côté, il en reste donc $n-1$. Si on en choisit une mauvaise, cela a une probabilité $\frac{n-2}{n-1}$ d’arriver ($n-2$ mauvaises clefs dans les $n-1$).
Maintenant il reste donc $n-2$ clefs devant nous. On peut ainsi prolonger ce raisonnement jusqu’à ce qu’on ait tiré $k-1$ mauvaises clefs (donc il en reste $n-(k-1)=n-k+1$). On multiplie alors les probabilités pour trouver:
$$\frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n-1}\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{n-k+2}{n-k+3}\frac{n-k+1}{n-k+2}$$Mais on remarque que $n-1$ se simplifie, ainsi que $n-2$, $n-3,\dots,$ jusqu’à $n-k+1$ qui, lui, va rester.
On trouve ainsi $\frac{n-k+1}{n}$.
Mais maintenant il nous reste à tirer la bonne clef parmi les $n-k+1$ restante, événement de probabilité $\frac{1}{n-k+1}$ qui, multiplié par le résultat précédent, donne $\frac{1}{n}$. Ainsi notre probabilité finale vaut $\frac{1}{n}$. Elle ne dépend pas de $k$ !