Le produit scalaire canonique de matrices réelles

$\textbf{1)}$

On calcule tout d’abord les coefficients diagonaux de $A^{T} A$ :
$\forall i \in [\![1,n]\!], a_{i,i} = \sum_{k=1}^{n} a^{t}_{i,k} a_{k,i} = \sum_{k=1}^{n} a_{k,i} a_{k,i} = \sum_{k=1}^{n} a_{k,i}^{2}$
$\newline$
Ensuite on peut calculer la trace :
$\mathrm{tr}(A^T A) = \sum_{i=1}^{n} a_{i,i} = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^{n} a_{k,i}^{2}$
$\newline$
$\textbf{2)}$
$\newline$
$\textbf{Symétrie}$
Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$
$f(A,B) = \mathrm{tr}(A^{T} B) = \mathrm{tr}((A^{T}B)^{T}) = \mathrm{tr}(B^{T}(A^{T})^{T}) ) \mathrm{tr} (B^{T}A) = f(B,A)$
$\newline$
$\textbf{Bilinéarité}$
Comme nous avons vérifié la symétrie, il suffit de vérifier la linéarité d’un des deux côtés, par exemple la linéarité à droite.
Soient $A$,$B_1$ et $B_{2}$ des matrices carrées et $\lambda$ et $\mu$ des scalaires.
$f(A, \lambda B_{1} + \mu B_{2}) = \mathrm{tr}(A^{T} (\lambda B_{1} + \mu B_{2})) = \lambda \mathrm{tr}(A^{T}B_{1}) + \mu \mathrm{tr}(A^{T}B_{2}) = \lambda f(A, B_{1}) + \mu f(A,B_{2})$ par linéarité de la trace.
$\newline$
$\textbf{Positivité}$
Soit $A$ une matrice carrée
$f(A,A) = tr(A^{T}A) = \sum_{i,k\ge n} a_{k,i}^2 \ge 0$
$\newline$
$\textbf{Séparation}$
Soit $A$ une matrice carrée
$f(A,A) = 0 \Leftrightarrow \sum_{i,k\ge n} a_{k,i}^2 = 0 \Leftrightarrow \forall i,k \in [\![1,n]\!] a_{k,i} = 0 \Leftrightarrow A = 0$
$\newline$
$f$ est bien un produit scalaire.
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$\textbf{3)}$
On utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz
Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées symétriques.
$(f(A,B))^{2} \le f(A, A) f(B,B)$
$(\mathrm{tr}(A^{T} B))^{2} \le \mathrm{tr}(A^{T}A) \mathrm{tr}(B^{T}B)$
$(\mathrm{tr}(AB))^{2} \le \mathrm{tr}(A^{2})\mathrm{tr}(B^{2})$