Le théorème de Bernstein

Soit $f \in \mathcal{C}^{\infty}(]-a,a[,\mathbb{R})$ telle que $\forall n \in \mathbb{N}, f^{(n)} \geqslant 0$. Le but est de montrer que $f$ est analytique, c’est-à-dire, développable en série entière en chaque point de son domaine de définition.

1. En considérant $g_{x_0} : x \longmapsto f(x+x_0)$ avec $x_0 \in \, ]-a,a[$, de telle sorte que $g_{x_0}$ est définie en $]-a+|x_0|, a-|x_0|[$, montrez qu’il est suffisant pour conclure de montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$.

On cherche maintenant à montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$.

2. Montrez que :
   $$\forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in \, ]-a,a[, \quad f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + R_n(x)$$où $R_n$ sera exprimé au moyen d’une intégrale.

3. On considère $b \in \, ]0,a[$. Montrez que, pour tout nombre naturel $n$ et tout nombre réel $x$ de $]-b,b[$, on a la relation :
   $$\forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in \, ]-b,b[, \quad |R_n(x)| \leqslant \left(\frac{|x|}{b}\right)^{n+1} R_n(b) \leqslant \left(\frac{|x|}{b}\right)^{n+1} f(b)$$

En déduire le théorème de Bernstein.

4. Application : soit $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ différente de l’application identité telle que $\forall n \in \mathbb{N}, f^{(n)} \geqslant 0$. Montrer que $f$ s’annule au plus une fois.