Les affres des cadeaux communs

Comme il y a $n$ appels indépendants, chacun avec une probabilité $p$ de succès, $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ :
$$P(X=i)=\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}$$

Lors du deuxième appel, les appels restent indépendants, chacun avec une probabilité $p$ de succès, mais cette fois, si $X=i$, il ne reste que $n-i$ appels à passer. La probabilité conditionnelle suit donc à nouveau une loi binomiale $\mathcal{B}(n-i,p)$ :
$$P(Y=k\mid X=i)=\binom{n-i}{k}p^{k}(1-p)^{n-i-k}$$

Attention : il y a probablement beaucoup mieux que cette méthode "force brute", mais je n’ai toujours pas trouvé la bonne interprétation : Lorsque $X=i$, il faut nécessairement que $Y=k-i$. Cela signifie que :
$$P(X+Y=k)=\sum_{i=0}^{k}P(X=i\quad\text{et}\quad Y=k-i)$$Or ces probabilités jointes peuvent s’exprimer à l’aide des probabilités conditionnelles calculées à la question précédente, ainsi que du résultat de la première question :
$$P(X+Y=k)=\sum_{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i\mid X=i)=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}\binom{n-i}{k-i}p^{k-i}(1-p)^{n-k}$$et certains termes ne dépendent pas de $i$, donc on peut les sortir de la somme :
$$P(X+Y=k)=p^{k}(1-p)^{n-k}\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}\binom{n-i}{k-i}(1-p)^{n-i}$$On dispose ici d’une identité combinatoire remarquable :
$$\binom{n}{i}\binom{n-i}{k-i}=\binom{k}{i}\binom{n}{k}$$ce qui donne :
$$P(X+Y=k)=p^{k}(1-p)^{n-k}\binom{n}{k}\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}(1-p)^{n-i}$$Cette somme fait beaucoup penser à un binôme de Newton, mais la puissance n’est pas la bonne. Faisons apparaître un $k$ :
$$P(X+Y=k)=p^{k}(1-p)^{n-k}\binom{n}{k}\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}(1-p)^{n-k}(1-p)^{k-i}=p^{k}\left((1-p)^{n-k}\right)^{2}\binom{n}{k}\sum_{i=0}^{k}\binom{k}{i}(1-p)^{k-i}$$$$=p^{k}\left((1-p)^{n-k}\right)^{2}\binom{n}{k}(1-p+1)^{k}=p^{k}\left((1-p)^{n-k}\right)^{2}\binom{n}{k}(2-p)^{k}$$En posant $q=p(2-p)=2p-p^{2}$, on a $1-q=1-2p+p^{2}=(1-p)^{2}$, d’où l’on obtient :
$$P(X+Y=k)=\binom{n}{k}q^{k}(1-q)^{n-k}$$Il s’agit à nouveau d’une loi binomiale $\mathcal{B}(n,q)$.

L’espérance de $Z=X+Y$ vaut $nq$, tandis que la variance vaut $nq(1-q)$.