Les ensembles convexes sont simplement connexes

Soit $C$ un ensemble convexe. D’abord, notons que $C$ est connexe par arcs, puisque n’importe quels points $A$ et $B$ sont reliés par un chemin, à savoir, le segment entre $A$ et $B$.
Soient maintenant $\gamma_{0},\gamma_{1}$ deux lacets basés en $x_{0}\in C$.
On peut naturellement former l’homotopie suivante (au passage, c’est celle qu’il faut toujours essayer dans un premier temps !):
$$H(t,s)=(1-t)\gamma_{0}(s)+t\gamma_{1}(s)$$Cette application est bien à valeurs dans $C$, puisque $C$ est convexe.
De plus, $H$ est une homotopie de chemins, puisqu’elle préserve les extrémités :
$$H(t,0)=H(t,1)=x_{0}.$$

On a donc montré qu’il existe une seule classe d’homotopie de lacets dans $C$. Autrement dit, le groupe fondamental de $C$ contient un unique élément, donc il s’agit du groupe trivial.