Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Les entiers consécutifs non premiers

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Solution

Solution by NawzadHogan · FR

On peut généraliser l’exercice pour trouver n⩾1n\geqslant1 nombres consécutifs non-premiers. Pour cela, on pense à la factorielle, qui apparaît naturellement. On va considérer les entiers
(n+1)!+2,(n+1)!+3,(n+1)!+4,…,(n+1)!+n,(n+1)!+n+1.(n+1)!+2,(n+1)!+3,(n+1)!+4,\dots,(n+1)!+n,(n+1)!+n+1.On voit que, pour tout k∈{2,…,n+1}k\in\{2,\dots,n+1\}, kk divise (n+1)!+k(n+1)!+k car kk divise (n+1)!(n+1)!. Ainsi, on a bien nn entiers consécutifs qui ne sont pas des nombres premiers.

VintzbyFR

La distance entre deux nombres premiers tendant vers ∞\infty nous pouvions être sûrs de trouver une série de 1000 nombres non premiers.
Le hors série 94 de tangeante consacré à Paul Erdös m’a amené également à la preuve proposée par NawzadHogan.
(n+1)!+1(n+1)!+1 étant premier, les n suivants ne l’étant pas en prenant n=1000 on trouve une série consécutives d’entiers non premiers en partant de 1001!1001 !+2 qui s’écrit quand même avec 2511 chiffres pour le premier (:-)).
J’ai l’impression qu’une question plus délicate sera de savoir quelle serait la suite de n nombres consécutifs non premiers les plus petits.