Les entiers consécutifs non premiers

On peut généraliser l’exercice pour trouver $n\geqslant1$ nombres consécutifs non-premiers. Pour cela, on pense à la factorielle, qui apparaît naturellement. On va considérer les entiers
$$(n+1)!+2,(n+1)!+3,(n+1)!+4,\dots,(n+1)!+n,(n+1)!+n+1.$$On voit que, pour tout $k\in\{2,\dots,n+1\}$, $k$ divise $(n+1)!+k$ car $k$ divise $(n+1)!$. Ainsi, on a bien $n$ entiers consécutifs qui ne sont pas des nombres premiers.