Les espaces métriques sont séparés

Soit $(X,d)$ un tel espace. Soient $x\neq y$ dans $X$.
Par définition de $d$, on a $d(x,y)>0$. Posons $r:=\dfrac{d(x,y)}{3} >0$. Vérifions que $B(x,r)\cap B(y,r)=\emptyset$.
Soit donc un hypothétique $z$ dans cette intersection. Alors par inégalité triangulaire et définition des boules on aurait
$$3r=d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y) <r+r=2r,\quad \text{ABSURDE}$$L’intersection des deux boules ouvertes est bien disjointe, donc $(X,d)$ est bien séparé.