Les espaces métriques sont séparés

by Ancient Tree·

Montrer que tout espace métrique est séparé.

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Solution by Oakiwi

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Soit $(X,d)$ un tel espace. Soient $x\neq y$ dans $X$ .
Par définition de $d$ , on a $d(x,y)>0$ . Posons $r:=\dfrac{d(x,y)}{3} >0$ . Vérifions que $B(x,r)\cap B(y,r)=\emptyset$ .
Soit donc un hypothétique $z$ dans cette intersection. Alors par inégalité triangulaire et définition des boules on aurait
$3r=d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y) <r+r=2r,\quad \text{ABSURDE}$ L’intersection des deux boules ouvertes est bien disjointe, donc $(X,d)$ est bien séparé.

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