Les idéaux de $M_{n}(K)$

Montrons que les seuls idéaux bilatères de $\mathcal{M}_n(K)$ sont $\{0\}$ et $\mathcal{M}_n(K)$, on dit que l’anneau est simple.

Notons $E_{ij}$ les matrices élémentaires, ainsi, pour toute $A=(a_{kl}$) ,on a $E_{ik}\,A\,E_{lj}=a_{kl}\,E_{ij}$.
Soit $I$ un idéal bilatère non nul et $A\in I$ non nulle, disons $a_{kl}\neq 0$. Par stabilité de $I$ par multiplication à gauche et à droite, $a_{kl}E_{ij}\in I$ pour tous $i,j$, puis $E_{ij}\in I$ en multipliant par le scalaire $a_{kl}^{-1}$ . Ainsi
$$I_n=\sum_{i=1}^{n}E_{ii}\in I,$$donc $I=\mathcal{M}_n(K)$. $\blacksquare$

Remarque

• En revanche, les idéaux à gauche sont nombreux. Par exemple, pour tout sous-espace $V\subseteq K^{n}$, l’ensemble $\{A : \operatorname{Im}A\subseteq V\}$ en est un.