Les $p$-Sylow de $\mathfrak S_{p}$

On a $|\mathfrak{S}_p|=p!$, et $v_p(p!)=1$. Les $p$-Sylow sont donc d’ordre $p$, c’est-à-dire engendrés par un élément d’ordre $p$.

Un élément d’ordre $p$ de $\mathfrak{S}_p$ est exactement un $p$-cycle : sa décomposition en cycles à supports disjoints a pour ordre le ppcm des longueurs, et une somme de longueurs égale à $p$ avec un ppcm divisible par $p$ force un unique cycle de longueur $p$.

Un $p$-cycle est déterminé par la liste $(a_1,\dots,a_p)$ de ses éléments, soit $p!$ listes, et deux listes donnent le même cycle si et seulement si elles se déduisent l’une de l’autre par permutation circulaire, ce qui regroupe les listes par paquets de $p$. Il y a donc $(p-1)!$ cycles de longueur $p$.

Chaque $p$-Sylow, cyclique d’ordre $p$, contient $p-1$ éléments d’ordre $p$, et deux $p$-Sylow distincts se coupent trivialement. Les $p$-cycles se répartissent donc en paquets de $p-1$ :
$$n_p=\frac{(p-1)!}{p-1}=(p-2)!\,.$$

Le troisième théorème de Sylow affirme que $n_p\equiv 1\pmod p$, d’où
$$(p-2)!\equiv 1\pmod p .$$Or $p-1\equiv -1\pmod p$, donc
$$(p-1)!=(p-1)\cdot(p-2)!\equiv(-1)\cdot 1=-1\pmod p . \qquad\blacksquare$$