Les sommes de Faulhaber

Pour $n \geqslant 1,m \geqslant 1,(n,m)\in \N^2$

Montrez que :
$$\sum_{k=1}^{n}k^{m}= \frac {n^{m+1}}{m+1}-\sum_{k=0}^{m-1}n^{m-k}\binom{m}{k} \zeta(-k)$$

où $\zeta(x)$ est le prolongement analytique sur $\mathbb{C}$\{1} de $\sum_{1}^{+\infty}\frac{1}{k^x}$

en rappelant l’équation fonctionnelle de $\zeta$ :

$\zeta(1-x)=\cos(\frac{x\pi}{2})\frac{\zeta(x)}{\pi^{x}}\frac{\Gamma(x)}{2^{x-1}}$ et en précisant que $\zeta(0)=-\frac{1}{2}$