Ma première application du théorème de convergence monotone

On pose $f_{n}(x)=\frac{1}{1+x^{n}}.$
Alors $f_{n}$ est continue sur $[0,1]$ donc mesurable sur cet intervalle.
Soit $x \in [0,1],$

• $f_n(x)\ge0$,
• Comme $x^{n+1}\le x^n$, alors $f_{n+1}(x)\ge f_{n}(x)$.

On calcule également la limite de $f_{n}$ :
$$\lim_{n \to +\infty}f_n(x)=\begin{cases} 1 & \text{si } x\in[0,1[,\\ \dfrac12 & \text{si } x=1. \end{cases} = 1 \text{ p.p sur } [0,1].$$On peut donc appliquer le théorème de convergence monotone :
$$\lim_{n\to + \infty} \int_{[0,1]} f_{n}(x) dx = \int_{[0,1]} \lim_{n \to + \infty}f_{n}(x) dx = \int_{[0,1]} 1 dx = 1.$$