Ma première résolution d’équation différentielle linéaire homogène d’ordre 1

Méthode 1: Application du résultat de résolution d’une tel EDP.

Soit $x \in \mathbb{R}$
$$\quad(1+x^2)y'-2xy=0$$$$\Longleftrightarrow y'-\frac{2x}{1+x^2}y=0.$$Or
$$\int -\frac{2x}{1+x^2}\,dx = -\ln(1+x^2).$$Ainsi, une primitive de
$$a(x)=-\frac{2x}{1+x^2}$$est
$$A(x)=-\ln(1+x^2).$$D’après la méthode générale de résolution de l’équation homogène,
$$y(x)=\lambda e^{-A(x)}, \qquad \lambda\in\mathbb R.$$Donc
$$y(x) = \lambda e^{\ln(1+x^2)} = \lambda (1+x^2).$$Par conséquent, les solutions de $(H)$ sont les fonctions
$$x\longmapsto \lambda(1+x^2), \qquad \lambda\in\mathbb R.$$Méthode 2 : On reconnaît l’expression d’un formule de dérivation connu.

$$\begin{aligned} (H) &\iff (1+x^2)y'-2xy=0 \\[0.3em] & \iff \frac{(1+x^2)y'-2xy}{(1+x^2)^2}=0 \quad\bigl(\text{car } 1+x^2>0 \text{ pour tout } x\in\mathbb R\bigr) \\[0.3em] & \iff \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{1+x^2} \right) =0 \\[0.3em] & \iff \exists \lambda\in\mathbb R,\ \forall x\in\mathbb R, \qquad \frac{y(x)}{1+x^2}=\lambda \\[0.3em]& \iff \exists \lambda\in\mathbb R,\ \forall x\in\mathbb R, \qquad y(x)=\lambda(1+x^2). \end{aligned}$$