$$\mathbb{R} \text{ n'est pas dénombrable.}$$

On va utiliser l’argument de la diagonale de Cantor.

Supposons par l’absurde qu’il existe une énumération $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ de $[0,1[$.

Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on note $(u_{n,i})_{i\in\mathbb{N}^*}$ la suite des chiffres décimaux de $u_n$, de sorte que

$$u_n=0,u_{n,1}u_{n,2}u_{n,3}\ldots$$

On définit l’application $\varphi$ de $\llbracket 0,9\rrbracket$ dans $\llbracket 0,9\rrbracket$ par

$$\varphi(i)= \begin{cases} i+1 & \text{si } i<5,\\ i-1 & \text{sinon}. \end{cases}$$

Ainsi, $\varphi$ ne possède aucun point fixe.

On considère alors le réel

$$x=0,x_1x_2x_3\ldots$$

où, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$,

$$x_n=\varphi(u_{n,n}).$$

Par définition de $\varphi$, on a

$$\forall n\in\mathbb{N}^*,\qquad x_n\neq u_{n,n}.$$

Ainsi, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, les développements décimaux de $x$ et de $u_n$ diffèrent au moins par leur $n$-ième chiffre. Par conséquent,

$$\forall n\in\mathbb{N}^*,\qquad x\neq u_n.$$

On a donc $x\in[0,1[$, mais

$$x\notin\{u_n\mid n\in\mathbb{N}^*\},$$

ce qui contredit le fait que $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ est une énumération de $[0,1[$.

Ainsi, $[0,1[$ n’est pas dénombrable.

Comme $[0,1[\subset\mathbb{R}$, on en déduit que $\mathbb{R}$ n’est pas dénombrable. Il n’existe donc aucune bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{N}$.