$\mathbb{Z}^{n}$ et $\mathbb{Z}^{p}$ sont-ils isomorphes ?

La condition nécessaire et suffisante est $n=p$.

• Elle suffit : quand $n=p$, l’identité est un automorphisme de $\Z^{n}$.
• Réciproquement.
  Sans perte de généralité supposons $p>n$ soit $f:\Z^{p}\rightarrow\Z^{n}$ un morphisme de groupes additifs. Notons $C$ la base canonique de $\Z^{p}$. La famille de $p$ vecteurs $(f(c))_{c\in C}$ est liée dans le $\Q$-ev $\Q^{n}$, il existe une famille $(q_{c})_{q\in\Q}$ de rationnels non tous nuls tels que $\sum\limits_{c{}\in\C}q_{c}f(c)=0$. Par réduction au dénominateur commun, on en déduit une famille $(\alpha_c)_{c\in C}$ d'entiers non tous nuls tels que $\sum\limits_{c{}\in\C}\alpha_{c}f(c)=0$ ; alors $f(\sum\limits_{c{}\in\C}\alpha_{c}c)=0$ et $(\alpha_c)_{c\in C}$ est un élément non nul de $\ker f$ : $f$ n’est pas injective.
  Ceci vaut pour tout morphisme de $\Z^{p}$ dans $\Z^{n}$ : $\Z^{p}$ et $\Z^{n}$ ne sont pas isomorphes quand $p>n$.
  Conclusion : les groupes additifs $\Z^{n}$ et $\Z^{p}$ sont isomorphes si et seulement si $n=p$.

(Appel au peuple : y a-t-il une argumentation plus directe ?)