$\mathbb{Z}^{n}$ et $\mathbb{Z}^{p}$ sont-ils isomorphes ?

La condition nécessaire et suffisante est $n=p$.

• Elle suffit : quand $n=p$, l’identité est un automorphisme de $\Z^{n}$.
• Réciproquement.
  Sans perte de généralité supposons $p>n$ soit $f:\Z^{p}\rightarrow\Z^{n}$ un morphisme de groupes additifs. Notons $C$ la base canonique de $\Z^{p}$. La famille de $p$ vecteurs $(f(c))_{c\in C}$ est liée dans le $\Q$-ev $\Q^{n}$, il existe une famille $(q_{c})_{q\in\Q}$ de rationnels non tous nuls tels que $\sum\limits_{c{}\in\C}q_{c}f(c)=0$. Par réduction au dénominateur commun, on en déduit une famille $(\alpha_c)_{c\in C}$ d'entiers non tous nuls tels que $\sum\limits_{c{}\in\C}\alpha_{c}f(c)=0$ ; alors $f(\sum\limits_{c{}\in\C}\alpha_{c}c)=0$ et $(\alpha_c)_{c\in C}$ est un élément non nul de $\ker f$ : $f$ n’est pas injective.
  Ceci vaut pour tout morphisme de $\Z^{p}$ dans $\Z^{n}$ : $\Z^{p}$ et $\Z^{n}$ ne sont pas isomorphes quand $p>n$.
  Conclusion : les groupes additifs $\Z^{n}$ et $\Z^{p}$ sont isomorphes si et seulement si $n=p$.

(Appel au peuple : y a-t-il une argumentation plus directe ?)

Soit $f : \mathbb{Z}^{n}\longrightarrow \mathbb{Z}^{p}$ un tel isomorphisme.
Alors $f$ se prolonge en une application $\mathbb{Z}$-linéaire (morphisme de $\mathbb{Z}$-modules pour les puristes) en posant $f(ab)=af(b)$ pour tout $a\in \mathbb{Z}$. Cette application est alors un isomorphisme comme "application $\mathbb{Z}$-linéaire bijective d’inverse $\mathbb{Z}$-linéaire" $^\ast$.
Considérons la matrice représentative de $f$ dans les "bases" canoniques. Dire que $f$ est un isomorphisme revient alors à dire que la matrice est inversible (et que son inverse est à coefficients entiers), donc en particulier qu’elle est carrée, ie que $p=n$.

Réciproquement, si $p=n$, alors les groupes $\mathbb{Z}^{p}$ et $\mathbb{Z}^{n}$ sont identiques, donc isomorphes.

$^\ast$ Autre façon de procéder pour les moins convaincus : on étend $f$ en application $\mathbb{Q}$-linéaire $\tilde{f}$ entre $\mathbb{Q}^{n}$ et $\mathbb{Q}^{p}$ : si $b\in \mathbb{Q}^{n}$, il existe $a\in \mathbb{Z}^{\ast}$ tel que $ab\in \mathbb{Z}^n$ (par exemple le PPCM des dénominateurs des composantes de $b$). On pose alors
$$\tilde{f}(a):=\dfrac{1}{a}f(ab)$$Cette définition ne dépend en fait pas du choix de $a$ vérifiant $ab\in \mathbb{Z}^{n}$, et l’application ainsi créée est un isomorphisme de $\mathbb{Q}$-espaces vectoriels (toutes ces affirmations se vérifient en travaillant avec les coordonnées : exo ! ).