Matrice dont le déterminant est le produit des normes-1 de ses colonnes

Montrons que 'égalité a lieu si et seulement si
$$A \text{ possède une ligne nulle},\qquad\text{ou}\qquad A=DP_\sigma$$avec $D$ diagonale inversible et $P_\sigma$ matrice de permutation

Si une ligne est nulle, les deux membres valent $0$. Si $A=DP_\sigma$ avec $D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$, alors $a_{ij}=d_i\,\delta_{j,\sigma(i)}$, chaque ligne a pour somme $|d_i|$, et $\det A=\varepsilon(\sigma)\prod_i d_i$, d’où
$$|\det A|=\prod_{i=1}^{n}|d_i|=\prod_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}| .$$Notons $L_1,\dots,L_n$ les lignes de $A$. La comparaison des normes $\|x\|_2\leqslant\|x\|_1$ — élever au carré : $\sum_j x_j^{2}\leqslant\bigl(\sum_j|x_j|\bigr)^{2}$, les doubles produits étant positifs, jointe à l’inégalité de Hadamard appliquée à $A^{\mathsf T}$ donne
$$|\det A|\ \leqslant\ \prod_{i=1}^{n}\|L_i\|_2\ \leqslant\ \prod_{i=1}^{n}\|L_i\|_1 . \qquad \qquad \tag{$\ast$}$$L’égalité de l’énoncé force donc l’égalité dans les deux maillons de $(\ast)$.

Supposons toutes les lignes non nulles, sinon on est dans le cas dégénéré déjà traité. Tous les facteurs de $(\ast)$ sont alors strictement positifs, et l’égalité des produits avec les inégalités terme à terme $\|L_i\|_2\leqslant\|L_i\|_1$ force
$$\|L_i\|_2=\|L_i\|_1\qquad\text{pour tout } i .$$Or $\|x\|_1^{2}-\|x\|_2^{2}=2\sum_{j<k}|x_j|\,|x_k|$ : la nullité de cette somme signifie qu’au plus un coefficient de $x$ est non nul. Chaque ligne, non nulle, possède donc exactement un coefficient non nul, en position $c(i)$ :
$$L_i=a_{i\,c(i)}\,e_{c(i)},\qquad a_{i\,c(i)}\neq 0 .$$L’égalité dans le premier maillon est le cas d’égalité de Hadamard : les lignes sont deux à deux orthogonales. Pour $i\neq i'$,
$$\langle L_i,L_{i'}\rangle=a_{i\,c(i)}\,a_{i'c(i')}\,\bigl\langle e_{c(i)},e_{c(i')}\bigr\rangle=0\iff c(i)\neq c(i'),$$donc $c$ est injective, c’est-à-dire une permutation $\sigma$. Ainsi $A=DP_\sigma$ avec $d_i=a_{i\sigma(i)}\neq 0$. $\blacksquare$

Remarquons que l’on peut trouver un preuve directe, sans Hadamard.