Matrices de Bourdaud

Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\mathbb{C}$. Une matrice $M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est dite de Bourdaud si son polynôme caractéristique se lit sur sa diagonale :
$$\chi_M=\prod_{i=1}^{n}\bigl(X-m_{i,i}\bigr).$$1. Montrer que toute matrice triangulaire est de Bourdaud. Vérifier que l’ensemble des matrices de Bourdaud est stable par transposition et par conjugaison par une matrice de permutation, mais pas par similitude ni par addition.

2. Montrer qu’une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est semblable sur $\mathbb{K}$ à une matrice de Bourdaud si et seulement si elle est trigonalisable sur $\mathbb{K}$.

3. Pour $1\leqslant k\leqslant n$, on note $\sigma_k(M)$ la somme des mineurs principaux d’ordre $k$ de $M$, et $e_k$ le $k$-ième polynôme symétrique élémentaire. Montrer que
$$M \text{ est de Bourdaud}\iff \forall k,\ \sigma_k(M)=e_k(m_{1,1},\dots,m_{n,n}),$$et en déduire la condition d’ordre deux :
$$M \text{ de Bourdaud}\ \Longrightarrow\ \operatorname{tr}(M^{2})=\sum_{i=1}^{n}m_{i,i}^{2}.$$Caractériser les matrices de Bourdaud de $\mathcal{M}_2(\mathbb{K})$.

4. Montrer qu’une matrice de $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ est de Bourdaud si et seulement si elle est diagonale.

5. Est-il vrai que toute matrice de Bourdaud de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est diagonalisable ?

6. Une matrice réelle $A$ est dite normale si $A^{\mathsf T}A=AA^{\mathsf T}$. Déterminer les matrices réelles normales et de Bourdaud.

7. D’après la question 3, une matrice de $\mathcal{M}_2(\mathbb{K})$ est de Bourdaud si et seulement si elle est triangulaire. Ce résultat subsiste-t-il en dimension $3$, quitte à permuter les vecteurs de la base ?