Matrices inversibles dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$

Si $A$ est inversible dans $M_n(\mathbb{Z})$, alors

$$1=\det(I_n)=\det(AA^{-1})=\det(A)\det(A^{-1}).$$

Or ces deux nombres sont entiers, donc

$$\det(A)\mid 1,$$

d’où

$$\det(A)\in\{-1,+1\}.$$

Réciproquement, si $\det(A)\in{-1,+1}$, on a l’identité suivante (car $A$ est inversible dans $M_n(\mathbb{C})$) :

$$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,{}^t\!\operatorname{Com}(A).$$

Or, la comatrice est obtenue à partir des coefficients de $A$ par des additions et des multiplications. Elle est donc à coefficients entiers.

Comme $\dfrac{1}{\det(A)}\in{-1,+1}$, on en déduit que

$$A^{-1}\in M_n(\mathbb{Z}).$$

Ainsi, $A$ est inversible dans $M_n(\mathbb{Z})$.