Mon deuxième pas dans le raisonnement par récurrence

Pour $n\in \mathbb{N}$, notons $P(n)=$ " $u_{n} = 3^{n}- 2^{n}$ " , et montrons que $P(n)$ est vraie par récurrence double.

• On a $u_{0}= 3^0-2^0=1-1=0$ et $u_{1} = 3^{1}-2^{1} = 3-2=1$ donc $P(0)$ et $P(1)$ est vraie.
• Soit $n\in\mathbb{N}$, supposons $P(n)$ et $P(n+1)$. Montrons que $P(n+2)$ est vraie.

On a
$$u_{n+2} = 5u_{n+1} + 6u_{n}$$$$\qquad \qquad \qquad \qquad \quad= 5(3^{n+1} - 2^{n+1}) - 6(3^{n} - 2^{n})$$$$\qquad \qquad \qquad \quad= 3^{n}(15 - 6) - 2^{n}(10-6)$$$$\qquad= 3^{n+2} - 2^{n+2}$$Donc $P(n+2)$ est vraie.

• Donc $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=3^{n} - 2^{n}$.