Mon troisième pas dans le raisonnement par récurrence

Démontrer que pour tout entier naturel $n \ge 2$ , $n$ est soit premier, soit peut s’écrire comme un produit de nombres premiers.

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Solution by SalixBabylonica

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Pour $n\in \mathbb{N}$ tel que $n \ge 2$ , notons $P(n)=$ « $n$ est soit premier, soit il peut s’écrire comme un produit de nombres premiers », et montrons que $P(n)$ est vraie par récurrence forte.

$P(2)$ est vraie puisque $2$ est premier.
Soit $n\in \mathbb{N}$ tel que $n\ge 2$ , supposons $P(2), P(3), ... P(n)$ vraies. Montrons que $P(n+1)$ est vraie.

Distinguons 2 cas :

Si $n+1$ est premier, alors $P(n+1)$ est vraie.
Si $n+1$ n’est pas premier, alors il existe $a,b \in \llbracket2,n \rrbracket$ tel que $n+1 = ab$ .
Or, $P(a)$ et $P(b)$ sont vraies donc $a$ et $b$ sont soit deux nombres premiers, soit un nombre premier et un produit de nombres premiers, soit deux produits de nombres premiers. Dans tout les cas, $ab$ est un produit de nombres premiers et donc $P(n+1)$ est vraie.

Donc $\forall n \in \mathbb{N}$ tel que $n \ge 2$ , $P(n)$ est vraie.

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