Morphisme d’anneau et caractéristique

Soit $f : A \to B$ un morphisme d’anneaux unitaire, avec $m=\operatorname{car}(A)$ et $n=\operatorname{car}(B)$.

Si $m>0$, alors
$$m\cdot 1_A=0_A.$$En appliquant $f$, on obtient
$$0_B=f(0_A)=f(m\cdot 1_A)=m\cdot f(1_A)=m\cdot 1_B.$$Or $n$ est le plus petit entier strictement positif tel que
$$n\cdot 1_B=0_B.$$Effectuons la division euclidienne $m=qn+r$ avec $0\leq r<n$. Alors
$$0_B=m\cdot 1_B=r\cdot 1_B.$$Par minimalité de $n$, on a nécessairement $r=0$. Ainsi $n\mid m.$

Si $m=0$, alors $n\mid m$ est immédiat.