Morphismes de corps de $\C$ dans $\R$

Supposons qu’un tel morphisme de corps $\varphi:\mathbb{C}\rightarrow \R$ existe. Alors, par définition :
$$\varphi(-1)=\varphi(i^{2})=\varphi(i)^{2}$$mais $\varphi(-1)=-\varphi(1)=-1$. On a donc obtenu que le nombre réel $\varphi(i)$ vérifie $\varphi(i)^{2}=-1$, ce qui est impossible pour un nombre réel.

Donc, un tel morphisme de corps $\varphi$ ne peut pas exister.