Moyenne des racines entre un polynôme et son polynôme dérivé

Soit $P$ un polynôme de degré $n \geq 2$ et écrivons $P = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} X^{k}$, avec $a_{n} \neq 0$.

D’après les relations coefficients-racines, la somme des racines de $P$ vaut $-a_{n-1} / a_{n}$. Ici les racines sont complexes et considérées avec multiplicité. Le barycentre des racines de $P$ est donc $-a_{n-1} / (n a_{n})$.

D’autre part, en dérivant $P$, on obtient $P' = \sum_{k = 0}^{n-1} (k+1) a_{k+1} X^{k}$. Par le même raisonnement, la somme des racines de $P'$ vaut $-(n - 1) a_{n-1}/ (n a_{n})$. Comme $P'$ est de degré $n-1$, le barycentre de ses racines est $-a_{n-1} / (n a_{n})$.

Les barycentres des racines de $P$ et de $P'$ coïncident donc.