Moyenne des racines entre un polynôme et son polynôme dérivé

Soit P un polynôme de degré au moins 2.

Montrer que le barycentre des racines de P est égal au barycentre des racines de P'.

Les racines sont comptées avec multiplicité.

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Solution by ferntree

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Soit $P$ un polynôme de degré $n \geq 2$ et écrivons $P = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} X^{k}$ , avec $a_{n} \neq 0$ .

D’après les relations coefficients-racines, la somme des racines de $P$ vaut $-a_{n-1} / a_{n}$ . Ici les racines sont complexes et considérées avec multiplicité. Le barycentre des racines de $P$ est donc $-a_{n-1} / (n a_{n})$ .

D’autre part, en dérivant $P$ , on obtient $P' = \sum_{k = 0}^{n-1} (k+1) a_{k+1} X^{k}$ . Par le même raisonnement, la somme des racines de $P'$ vaut $-(n - 1) a_{n-1}/ (n a_{n})$ . Comme $P'$ est de degré $n-1$ , le barycentre de ses racines est $-a_{n-1} / (n a_{n})$ .

Les barycentres des racines de $P$ et de $P'$ coïncident donc.

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