Nombre de partitions d’un ensemble fini

Notons $B_n$ le $n$-ième nombre de Bell, c’est-à-dire le nombre de partitions d’un ensemble à $n$ éléments. On pose $B_0 = 1$, correspondant à l’unique partition de l’ensemble vide.

1. Montrer que, pour tout $n \geqslant 0$, $B_{n+1} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k$.

2. Démontrer que $B_n\leqslant n!$ pour tout entier $n \geqslant 0$. En déduire que la série
   $$S(x) := \sum_{n\geqslant0} \dfrac{B_n}{n!} x^n$$converge sur un voisinage de $0$.

3. Montrer que, pour $x$ suffisamment proche de $0$, $S(x)=\displaystyle e^{e^x-1}$.

4. En déduire que pour tout $n \geqslant 0$, $B_n=\displaystyle\frac{1}{e}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k^n}{k!}$.

5. En déduire le nombre de relations d’équivalence pouvant être considérées sur un ensemble à $n$ éléments.