Nombre de solutions d’une equation Diophantienne

Il y a exactement 2 couples : $(1,45)$ et $(45,1)$.

Factorisation. On a $2026=2\times 1013$, et $1013$ est premier : il n’est divisible par aucun des nombres premiers $\leqslant\sqrt{1013}<32$, à savoir $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31$. De plus
$$1013\equiv 1 \pmod 4 .$$

Décomposition explicite. Le théorème des deux carrés assure qu’un premier $\equiv 1\pmod 4$ est somme de deux carrés, et la recherche donne
$$1013=22^{2}+23^{2}.$$L’identité de Brahmagupta–Fibonacci $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}$ appliquée avec $2=1^{2}+1^{2}$ fournit
$$2026=2\times 1013=(23-22)^{2}+(23+22)^{2}=1^{2}+45^{2}=1+2025 .$$

Comptage par la formule de Jacobi. Le nombre $r_2(n)$ de couples $(x,y)\in\mathbb{Z}^{2}$ tels que $x^{2}+y^{2}=n$ vaut $4\bigl(d_1(n)-d_3(n)\bigr)$, où $d_1$ et $d_3$ comptent les diviseurs congrus à $1$ et à $3$ modulo $4$. Les diviseurs de $2026$ sont $1,2,1013,2026$ ; les diviseurs impairs sont $1$ et $1013$, tous deux $\equiv 1\pmod 4$. Donc
$$r_2(2026)=4(2-0)=8 .$$Ces $8$ solutions entières se répartissent en $4$ choix de signes et $2$ ordres pour une unique paire non ordonnée $\{x,y\}$ d’entiers strictement positifs et distincts : c’est $\{1,45\}$. Il reste donc, dans $\mathbb{N}^{2}$, les couples $(1,45)$ et $(45,1)$.

Vérification directe. On peut aussi conclure sans formule : il suffit de tester $x$ de $0$ à $31$ (car $x\leqslant y$ impose $2x^{2}\leqslant 2026$) et de vérifier si $2026-x^{2}$ est un carré. Seul $x=1$ convient, avec $2025=45^{2}$. $\blacksquare$