Nombre de sommes nulles

Étape 1 (Lemme).

Appelons antichaîne une partie $\mathcal{A}$ de $\mathcal{P}(\llbracket 1,n \rrbracket)$ telle que :
$$\forall A,B \in \mathcal{A}, \quad A \subset B \implies A = B.$$Un résultat de Sperner indique que le cardinal d’une antichaîne est majoré par $\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$. À cet effet, si $\sigma$ est une variable aléatoire de loi uniforme sur le groupe symétrique $\mathfrak{S}_{n}$, les évènements $[\sigma(\llbracket 1, |A| \rrbracket) = A]$, $A$ décrivant $\mathcal{A}$, sont d’une part deux à deux disjoints, d’autre part de probabilités respectives $1/\binom{n}{|A|}$. Ceci justifie que :
$$\sum_{A \in \mathcal{A}} \frac{1}{\binom{n}{|A|}} \leqslant 1.$$À $n$ fixé, le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ est maximal pour $k = \lfloor n/2 \rfloor$ (considérer sa monotonie selon $k$), d’où le résultat annoncé.

Étape 2 (Retour à l’exercice).

Si $\varepsilon \in \{-1,1\}^n$, on note $A_{\varepsilon}$ l’ensemble des indices $i \in \llbracket 1,n \rrbracket$ tels que $\varepsilon_{i} = 1$. L’application $\varepsilon \mapsto A_{\varepsilon}$ étant injective, il suffit de démontrer que l’ensemble :
$$\mathcal{A} = \left\{ A_{\varepsilon} : \varepsilon \in \{-1,1\}^{n} \text{ et } \sum_{i = 1}^{n} \varepsilon_{i} x_{i} = 0 \right\}$$est une antichaîne (ce fait sera vérifié sous une hypothèse supplémentaire).
Soit donc $A = A_{\varepsilon}$ et $B = A_{\varepsilon'}$ dans $\mathcal{A}$, vérifiant $A \subset B$. Les hypothèses sur $A$ et $B$ permettent de vérifier que :
$$\sum_{i \in B \setminus A} x_{i} = 0.$$Les $x_{i}$ étant supposés non-nuls, quitte à multiplier certains d’entre eux par $-1$ (ce qui n’est pas dérangeant ici), on peut les supposer strictement positifs. Ceci entraîne que $B \setminus A$ est vide, donc que $A = B$. Ceci conclut.