Nombre parfait sans facteur carré

Soit n un entier sans facteur carré. Il s’écrit $\prod_{i=1}^k p_i$ où les $p_{i}$ sont des nombres premiers distincts.
On note $\sigma(n)$ la somme des diviseurs positifs de n.
On sait que $\sigma(p_i) = p_{i }+1$.
Or $\sigma$ est une fonction multiplicative c’est-à-dire
si a et b sont deux entiers premiers entre eux, alors $\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)$.
Donc $\sigma(n)=\prod_{i=1}^k \sigma(p_i)=\prod_{i=1}^k (p_i +1)$.
On suppose maintenant que n est parfait $\sigma(n)=2n=2\prod_{i=1}^k p_i$ .
Donc $\frac{\sigma(n)}{n} =\prod_{i=1}^k \frac{p_{i}+1}{p_{i}}=2$.
Soit $p_{i}$ un facteur premier, pour pouvoir obtenir un produit entier, il faut qu’il existe $p_{j}+1=p_{i}$.
Or les seul nombres premiers consécutifs sont 2 et 3. Donc $n=2\times 3=6$.