Norme invariante par similitude

Existe-t-il une norme invariante par similitude sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ où $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$ ?
Autrement dit, on cherche une norme $N\colon \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\longrightarrow\R$ telle que $N(A)=N(PAP^{-1})$ pour tout $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K}),P\in GL_n(\mathbb{K})$ .

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Solution by Anduril

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En taille 1 : oui, toute norme convient car les classes de similitude sont les singletons.

En taille 2 : Il suffit de prendre les matrices triangulaires de diagonale formée de 0 et 1, et n en haut à droite.
On note A(n) cette matrice. Les A(n) sont diagonalisables à valeurs propres 2 à 2 distinctes donc semblables à Diag(0,1).
En particulier, elles sont toutes semblables entre elles.

En taille n>=2 : on travaille sur la matrice diagonale par blocs formée de A(n) et $I_{n-2}$ , qu’on note B(n). Comme les A(n) sont semblables, les B(n) aussi.

De plus, pour tout n>0 :

$N(B(n))=N(B(0)+nE_{1,2}) \geq nN(E_{1,2})-N(B(0))$ (D’après la deuxieme inégalité triangulaire)

Or, avec la séparation pour une norme, $N(E_{1,2})>0$
donc $N(B(n))$ tend vers $+\infty$ quand n tend vers $+\infty$ . En particulier, N n’est pas invariante par similitude.

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