Où se trouve le point inconnu qui réalise une égalité d’aires ?

Soit un segment $[AB]$

1. Par une construction géométrique, déterminer un point $H$ du segment $[AB]$ tel que le rectangle de côtés $AB$ et $BH$ soit égal en aire au carré de côté $AH$.

2. En notant $a=AB$ et $x=AH$, montrer que la construction précédente permet de résoudre une équation du second degré en $x$. Écrire cette équation.

3. Résoudre algébriquement l’équation obtenue à la question précédente. Retrouver ensuite, dans la construction géométrique, les longueurs qui interviennent dans l’expression de la solution.

NB : la première question ci-dessus est une mise en problème de la proposition 11 du Livre II des Eléments d’Euclide. Par contre les questions 2 et 3 en sont une exploitation algébrique moderne, qui n’est bien sûr pas présente dans les Eléments.