$p$-adic valuation of a sum

Question 1

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$n + m = \prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(n)} + \prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(m)}$

On factorise dans la somme par la plus grande puissance de $p$ possible comme facteur commun. L’exposant de cette puissance est $\alpha = \min(v_{p}(m), v_{p}(n))$ :

$n + m = p^{\alpha} \cdot \underset{K}{\underbrace{ \left(\prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(n) - \alpha} + \prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(m) - \alpha}\right)}}$

Cette factorisation est bien possible car $\alpha \leqslant v_{q}(n)$ et $\alpha \leqslant v_{q}(m)$ pour tout $q$ premier par définition de $\alpha$ comme minimum de ces deux quantités, ce qui assure la positivité des exposants et donc le fait que $K$ soit un entier.

Voici un exemple de factorisation :
$80 + 24 = 2^{4} \cdot 5 + 2^{3} \cdot 3 = 2^{3} \cdot (2 \cdot 5 + 3)$ , $\underset{3}{\underbrace{\alpha}} = \min(\underset{4}{\underbrace{v_{2}(80)}},\underset{3}{\underbrace{v_{2}(24)}})$

On écrit la factorisation première de $K$ :
$n+ m = p^{\alpha} \prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(K)}$
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puis on met en évidence le facteur $p$ :
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$n + m = p^{\alpha + v_{p}(K)} \prod\limits_{\scriptsize{\begin{matrix}q \text{ premier} \\ q \ne p\end{matrix}}} q^{v_{q}(K)}$
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Ainsi : $v_{p}(n+m) = \alpha + v_{p}(K)$
Comme $v_{p}(K) \in \N$, alors on a l’inégalité : $v_{p}(n + m) \geqslant \alpha = \min(v_{p}(m),v_{p}(n))$
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Question 2

Par définition de $\alpha = \min(v_{p}(m),v_{p}(n))$ comme minimum, on a $\alpha = v_{p}(n)$ ou $\alpha = v_{p}(m)$
De plus, par hypothèse $v_{p}(n) \ne v_{p}(m)$,
on en déduit que parmi les entiers naturels $v_{p}(n) - \alpha$ et $v_{p}(m) - \alpha$ , l’un est non-nul, l’autre si
Autrement dit parmi les entiers $\prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(n) - \alpha}$ et $\prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(m) - \alpha}$ , l’un est divisible par $p$, l’autre non
Donc la somme $K = \prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(n) - \alpha} + \prod\limits_{q \text{ premier}} q^{v_{q}(m) - \alpha}$ est non-divisible par $p$ , autrement dit $v_{p}(K) = 0$
Donc $n + m = p^{\alpha + v_{p}(K)} \prod\limits_{\scriptsize{\begin{matrix}q \text{ premier} \\ q \ne p\end{matrix}}} q^{v_{q}(K)} = p^{\alpha } \prod\limits_{\scriptsize{\begin{matrix}q \text{ premier} \\ q \ne p\end{matrix}}} q^{v_{q}(K)}$
Ainsi $v_{p}(n+m) = \alpha = \min(v_{p}(n),v_{p}(m))$