Path components of $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$

Montrons que les deux composantes connexes par arcs de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ sont
$$\mathrm{GL}_n^{+}(\mathbb{R})=\{A:\det A>0\}\qquad\text{et}\qquad \mathrm{GL}_n^{-}(\mathbb{R})=\{A:\det A<0\}.$$L’application $\det:\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{*}$ est continue, polynomiale en les coefficients. Si $\gamma$ était un chemin joignant $A$ à $B$ avec $\det A>0>\det B$, alors $\det\circ\gamma$ serait une fonction continue de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ changeant de signe, donc s’annulant en un $t_0$ par le théorème des valeurs intermédiaires, mais $\gamma(t_0)$ est inversible. Les deux ensembles ci-dessus sont donc non vides, disjoints, de réunion $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, et aucun chemin ne passe de l’un à l’autre.

• Montrons que $\mathrm{GL}_n^{+}(\mathbb{R})$ est connexe par arcs. Il suffit de relier toute $A$ de déterminant $d>0$ à $I_n$.

Notons $T_{ij}(\lambda)=I_n+\lambda E_{ij}$ pour $i\neq j$ les transvections. Le pivot de Gauss, qui n’utilise que des opérations $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j$ et une mise à l’échelle finale, permet d’écrire
$$A=T_1T_2\cdots T_k\cdot D,\qquad D=\operatorname{diag}(1,\dots,1,d),$$les $T_m$ étant des transvections.

Chaque facteur se relie continûment à $I_n$ dans $\mathrm{GL}_n^{+}$ :
$$t\longmapsto T_{ij}\bigl((1-t)\lambda\bigr),\qquad t\longmapsto\operatorname{diag}\bigl(1,\dots,1,(1-t)d+t\bigr),$$la première restant de déterminant $1$, la seconde de déterminant $(1-t)d+t>0$ puisque $d>0$. En multipliant ces chemins terme à terme, on obtient un chemin continu de $A$ à $I_n$ dans $\mathrm{GL}_n^{+}(\mathbb{R})$.

• Montrons que$\mathrm{GL}_n^{-}(\mathbb{R})$ est connexe par arcs. Soit $J=\operatorname{diag}(-1,1,\dots,1)$, de déterminant $-1$. La multiplication à gauche par $J$ est un homéomorphisme de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, d’inverse elle-même, et elle échange les deux ensembles. Ainsi $\mathrm{GL}_n^{-}=J\cdot\mathrm{GL}_n^{+}$ est image continue d’un connexe par arcs, donc connexe par arcs. $\blacksquare$