Polynômes réels positifs

Sans perte de généralité, on peut supposer $P$ unitaire.

Montrons dans un premier temps que toute racine réelle de $P$ est de multiplicité paire.

En effet, si $\mu$ est une racine réelle de $P$ et si $m_\mu$ désigne sa multiplicité, alors, au voisinage de $\mu$,

$$P(X)=(X-\mu)^{m_\mu}R(X),$$

où $R(\mu)\neq0$.

Si $m_\mu$ est impair, alors $(X-\mu)^{m_\mu}$ change de signe en $\mu$. Comme $R$ ne s’annule pas en $\mu$, il garde un signe constant au voisinage de $\mu$. Ainsi, $P$ change de signe au voisinage de $\mu$, ce qui est absurde puisque

$$P\geq0.$$

Toutes les racines réelles de $P$ sont donc de multiplicité paire.

On factorise désormais $P$ sous la forme suivante, avec $\mu_1,\ldots,\mu_p\in\mathbb{R}$ et $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ :

$$\begin{aligned} P &=(X-\mu_1)^{2k_{\mu_1}}\cdots(X-\mu_p)^{2k_{\mu_p}} (X-\lambda_1)(X-\overline{\lambda_1})\cdots (X-\lambda_n)(X-\overline{\lambda_n})\\ &=(X-\mu_1)^{k_{\mu_1}}\cdots(X-\mu_p)^{k_{\mu_p}} (X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_n)\\ &\qquad\times \overline{ (X-\mu_1)^{k_{\mu_1}}\cdots(X-\mu_p)^{k_{\mu_p}} (X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_n) }. \end{aligned}$$

Ainsi, en posant

$$Q=(X-\mu_1)^{k_{\mu_1}}\cdots(X-\mu_p)^{k_{\mu_p}} (X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_n),$$

on a

$$P=Q\overline{Q}.$$

En écrivant

$$Q=A+iB,$$

où $A,B\in\mathbb{R}[X]$, on obtient

$$P=(A+iB)(A-iB)=A^2+B^2.$$

Ainsi, il existe $A,B\in\mathbb{R}[X]$ tels que

$$\boxed{P=A^2+B^2}.$$