Pouvez vous trouver cette équivalence ?

On commence par le changement de variable $u=xt$, puis on intègre par parties, ce qui donne
$$\int_{0}^{+\infty}\dfrac{t}{1+t^{2}}e^{-xt}\,dt=\int_{0}^{+\infty}\dfrac{u}{x^{2}+u^{2}}e^{-u}\,du=\left[\dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+u^{2})e^{-u}\right]_{0}^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+u^{2})e^{-u}\,du=-\ln(x)+\dfrac12\int_{0}^{+\infty}\ln(x^{2}+u^{2})e^{-u}\,du$$On a, pour $x\leqslant 1,$ alors $2\ln(u)\leqslant \ln(x^{2}+u^{2})\leqslant \ln(1+u^{2})$ qui prouve que $|\ln(x^{2}+u^{2})\leqslant \max\set{\ln(1+u^{2}),2|\ln(u)|}$ ce qui fournit une domination de la dernière intégrale. On peut alors passer à la limite dans l’intégrale et on a $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac12\int_{0}^{+\infty}\ln(x^{2}+u^{2})e^{-u}\,du=\int_{0}^{+\infty}\ln(u)e^{-u}\,du$ qui est fini donc négligeable devant $-\ln(x).$