Pouvez vous trouver la constante ?

Sachant (ou éventuellement on l’admettra) que :

pour $x$ réel $>0$
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k-1}\frac{x^{k}}{k\cdot k!}=\ln(x)+\gamma+\int_{1}^{+\infty}\frac{e^{-tx}}{t}\mathrm{d}t$$où $\gamma$ désigne la constante d’Euler.

En déduire que :
$$\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k-1}\frac{x^{k}}{k^{2}\cdot k!}=\frac{\ln(x)^{2}}{2}+\gamma\ln(x)+K-\int_{1}^{+\infty}\frac{e^{-tx}\ln(t)}{t}\mathrm{d}t$$où $K$ désigne une constante.

MAIS QUE VAUT CETTE CONSTANTE $K$ ?

Montrez que $\displaystyle K=\frac{\gamma^{2}+\zeta(2)}{2}$