Preuve de $\displaystyle n =\sum_{d\mid n}\varphi(d).$

On cherche dans cet exercice à montrer l’égalité valable pour tout $n\in\N^*$:
$$\displaystyle n =\sum_{d\in D_n}\varphi(d).$$Où la somme porte sur l’ensemble $D_n$ des diviseurs de $n$.

0. Montrer le résultat pour $n=1$ histoire de se faire la main.
1. Soit $n,m$ deux entiers naturels premiers entre eux. Montrer que l’ensemble $D_{nm}$ est en bijection avec $D_n\times D_m$.
2. En utilisant la question précédente et à l’aide d’un changement de variable, montrer que si la formule est vraie pour $n$ et $m$ premiers entre eux, alors elle est vraie pour $nm$.
3. Montrer qu’on peut alors se ramener à montrer la formule pour les entiers de la forme $p^{a}$ où $p$ est un nombre premier et $a\in\N^*$.
4. Quels sont les diviseurs de $p^k$ pour $p$ premier et $k\in\N^*$ ? En déduire $\varphi(p^k)$.
5. Déduire de la question précédente la valeur de $\sum_{d\in D_{p^k}} \varphi(d)$ et conclure.