Product of a symmetric and a skew-symmetric matrix

On ne peut pas espérer que $SA$ soit symétrique ou antisymétrique : en général $(SA)^{\mathsf T}=A^{\mathsf T}S^{\mathsf T}=-AS\neq\pm SA$.
L’idée est de répartir symétriquement le facteur $S$ de part et d’autre de $A$, en utilisant sa racine carrée.

Le théorème spectral fournit $P\in\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ et $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ avec $S=PDP^{\mathsf T}$. Comme $S$ est définie positive, tous les $\lambda_i$ sont strictement positifs, et l’on peut poser
$$R=P\operatorname{diag}\bigl(\sqrt{\lambda_1},\dots,\sqrt{\lambda_n}\bigr)P^{\mathsf T}.$$Alors $R$ est symétrique, inversible (ses valeurs propres $\sqrt{\lambda_i}$ sont non nulles) et vérifie $R^{2}=S$.

Posons $B=RAR$. Comme $R^{2}=S$, il vient $R\,B\,R^{-1}=R(RAR)R^{-1}=R^{2}A=SA,$ donc $SA$ est semblable à $B$. Il suffit désormais de montrer que $B$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$.

En utilisant $R^{\mathsf T}=R$ et $A^{\mathsf T}=-A$ on obtient
$$B^{\mathsf T}=(RAR)^{\mathsf T}=R^{\mathsf T}A^{\mathsf T}R^{\mathsf T}=R(-A)R=-B .$$

Posons $H=\mathrm{i}B$ et calculons son adjointe. La matrice $B$ étant à coefficients réels, $\overline{B}=B$, donc $H^{*}=\overline{\mathrm{i}B}^{\;\mathsf T}=-\mathrm{i}\,B^{\mathsf T}=-\mathrm{i}(-B)=\mathrm{i}B=H .$
Ainsi $H$ est hermitienne*, donc diagonalisable dans une base orthonormée de $\mathbb{C}^{n}$, à valeurs propres réelles. Par conséquent $B=-\mathrm{i}H$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$, à valeurs propres imaginaires pures.
$SA$ est semblable à $B$, qui est diagonalisable sur $\mathbb{C}$. Donc $SA$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$, et son spectre est contenu dans $\mathrm{i}\mathbb{R}$. $\blacksquare$