Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/Real analysisUnreviewed

Progressions arithmético-géométriques et nombres premiers

by mathman·
30
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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  1. Montrez que f(x)=x+x51−x6\displaystyle f(x)=\frac{x+x^{5}}{1-x^{6}} vérifie l’équation fonctionnelle:

f(x)=x+x3⋅∑k=1+∞f(x2k)\displaystyle f(x)=x+x^{3}\cdot\sum_{k=1}^{+\infty}f(x^{2^{k}})

En déduire que tous les nombres premiers p⩾5p\geqslant 5 appartiennent à des progressions arithmético-géométriques et sont de la forme :

p=3+2n(6m+1)p=3+2^{n}(6m+1) ou bien p=3+2n(6m+5)p=3+2^{n}(6m+5) avec n∈N∗n\in\mathbb{N^{*}} et m∈Nm\in\mathbb{N}

  1. Montrez que f(x)=x+x51−x6\displaystyle f(x)=\frac{x+x^{5}}{1-x^{6}} vérifie l’équation fonctionnelle:

f(x)=x+(x2+x4)⋅∑k=1+∞f(x3k)\displaystyle f(x)=x+(x^{2}+x^{4})\cdot\sum_{k=1}^{+\infty}f(x^{3^{k}})

En déduire que tous les nombres premiers p⩾5p\geqslant 5 appartiennent à des progressions arithmético-géométriques et sont de la forme :

p=2+3n(6m+1)p=2+3^{n}(6m+1) ou bien p=2+3n(6m+5)p=2+3^{n}(6m+5) ou bien
p=4+3n(6m+1)p=4+3^{n}(6m+1) ou bien p=4+3n(6m+5)p=4+3^{n}(6m+5) avec n∈N∗n\in\mathbb{N^{*}} et m∈Nm\in\mathbb{N}

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