Prolongement et équation fonctionnelle de $\zeta(x)= \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^{x}}$

En utilisant la fonction $\theta$ de Jacobi, dont on rappelle que:

$\theta (x)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{-\pi k²x²}$

et pour $x>0$

$x\theta (x)=\theta (1/x)$

Montrez que :

$\frac{\Gamma (x/2)\zeta(x)}{\pi^{x/2}}= \frac{1}{x-1}- \frac{1}{x}+\int_{1}^{+\infty} (t^{x-1}+t^{-x})(\theta (t)-1)dt$

en déduire que :

$\frac{\Gamma (x/2)\zeta(x)}{\pi^{x/2}}= \frac{\Gamma ((1-x)/2)\zeta(1-x)}{\pi^{(1-x)/2}}$