Prolongement par continuité avec partie entière

On a les inégalités $y-1< E(y)\leqslant y$ pour $y\in\R$.
Maintenant, en multipliant par $x$ et en prenant $y:=\frac{\pi}{x}, x\neq0$, on trouve que
$$\pi-x<xE\left(\frac{\pi}{x}\right)\leqslant \pi$$si $x$ est positif et les inégalités dans l’autre sens si $x<0$ (car on multiplie par un nombre négatif).

Si maintenant on prend $x$ assez proche de $0$, disons $\vert x\vert<\frac{\pi}{2}$, et en notant que $\sin$ est décroissante sur $[\frac{\pi}{2},\pi]$ et croissante sur $[\pi,\frac{3\pi}{2}]$ (cela peut se voir directement via le cercle trigonométrique), alors nos égalités s’écrivent finalement
$$0=\sin(\pi)\leqslant \sin\left(x\,E\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)<\sin(\pi-x)=\sin(x).$$Enfin, $\sin(x)$ tend vers $0$ avec $x$ donc on peut conclure que $f$ admet une limite en $0$, et cette dernière vaut $0$ que l’on prend égale à $f(0)$. Ainsi $f$ admet bien un prolongement par continuité en $0$.