Quelques propriétés d’un groupe

1. Supposons que $G$ possède deux éléments neutres $e$ et $e'$.
   Comme $e$ est neutre, on a e * e' = e'.
   Comme $e'$ est neutre, on a également e * e' = e.
   Par conséquent, e=e'.
   L’élément neutre est donc unique.

2. Soit $x\in G$ et soient $y$ et $z$ deux symétriques de $x$. Alors
   $$y*x=e \qquad\text{et}\qquad x*z=e.$$On a alors par associativité de $*$,
   $$y*x*z=(y*x)*z =e*z =z.$$D’autre part, en utilisant toujours l’associativité de $*$,
   $$y*x*z = y*(x*z) = y*e = y.$$Ainsi,
   $$y=z.$$Le symétrique d’un élément est donc unique.

3. Soient $x,y \in G$. Montrons que
   $$(x*y)^{-1}=y^{-1}*x^{-1}.$$Il suffit de vérifier que $y^{-1}*x^{-1}$ est un inverse de $x*y$.
   D’une part, on a par associativité de $*$,
   $$\begin{array}{rcl} (x*y)*(y^{-1}*x^{-1}) &=& x*(y*y^{-1})*x^{-1} \\ &=& x*e*x^{-1} \\ &=& x*x^{-1} \\ &=& e \end{array}$$D’autre part, on obtient grâce à l’associativité de $*$,
   $$\begin{array}{rcl} (y^{-1}*x^{-1})*(x*y) &=& y^{-1}*(x^{-1}*x)*y \\ &=& y^{-1}*e*y \\ &=& y^{-1}*y \\ &=& e \end{array}$$

D’où $y^{-1}*x^{-1}$ est un inverse de $x*y$ et par unicité de l’inverse, $(x*y)^{-1}=y^{-1}*x^{-1}$.

4. Soient $x,y,z \in G$ tels que
   $$x*y=x*z.$$Alors
   $$x^{-1}*(x*y) = x^{-1}*(x*z).$$Par associativité de $*$,
   $$(x^{-1}*x)*y = (x^{-1}*x)*z.$$Ainsi,
   $$e*y = e*z.$$Donc
   $$y=z.$$