Quelques sommes remarquables de coefficients binomiaux

1. Il suffit de remarquer qu’il s’agit du Binôme de Newton appliquée à $a=b=1$.
   En effet,
   $$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} 1^{k}1^{n-k} = (1+1)^{n} = 2^{n}.$$
2. Il suffit de remarquer qu’il s’agit du Binôme de Newton appliquée à $a=-1,b=1$.
   En effet,
   $$\sum_{k=0}^n (-1)^{k}\binom{n}{k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^{k}1^{n-k} = (-1+1)^{n} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{si } n=0,\\[0.3em] 0 & \text{sinon}. \end{array} \right..$$

Pour $n=0$, il vient $\sum_{\substack{k=0 \\ k \text{ pair}}}^{n} \binom{n}{k}=1$ et $=\sum_{\substack{k=0 \\ k \text{ impair}}}^{n} \binom{n}{k}=0$.
Pour $n \neq 0$, on peut remarquer que
$$\sum_{\substack{k=0 \\ k \text{ pair}}}^{n} \binom{n}{k}= \sum_{\substack{k=0 \\ k \text{ pair}}}^{n} \binom{n}{k} (-1)^{k}$$et
$$\sum_{\substack{k=0 \\ k \text{ impair}}}^{n} \binom{n}{k}= - \sum_{\substack{k=0 \\ k \text{ impair}}}^{n} \binom{n}{k} (-1)^{k}.$$

Ainsi, d’après la question $2$,

$$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k} = \sum_{\substack{k=0\\k\text{ pair}}}^{n}\binom{n}{k} - \sum_{\substack{k=0\\k\text{ impair}}}^{n}\binom{n}{k} = 0,$$

et d’après la question $1$,

$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = \sum_{\substack{k=0\\k\text{ pair}}}^{n}\binom{n}{k} + \sum_{\substack{k=0\\k\text{ impair}}}^{n}\binom{n}{k} = 2^n.$$D’où
$$\sum_{\substack{k=0\\k\text{ pair}}}^{n}\binom{n}{k} = \sum_{\substack{k=0\\k\text{ impair}}}^{n}\binom{n}{k} = 2^{n-1}.$$