Quelques suites bornées qui convergent toujours

Soit $\alpha\in\mathbb{C}$ tel que $\vert \alpha\vert\neq1$ et soit $u$ une suite complexe telle que $u_{n+1}-\alpha\,u_n\,\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0$

1. Nous supposons dans cette question que $u$ est bornée. Montrer que $u$ converge.

2. Pour quelles valeurs de $\alpha$ le résultat de la question précédente peut-il se généraliser si $u$ n’est plus supposée bornée ?

3. Montrer que la suite $(e^{in\theta})_{n\in\N}$ diverge pour tout $\theta\in\mathbb{R}\backslash 2\pi\mathbb{Z}$. Conclure alors dans le cas $\vert\alpha\vert=1$.