Quotient cyclique d’un groupe par son centre

Supposons que $G/Z(G)$ est cyclique. Cela signifie que les classes à gauche de la forme $yZ(G)$ sont engendrées par une seule classe, disons $xZ(G)$.

Soient $g$ et $h$ deux éléments de $G$. On veut montrer qu’ils commutent.
Exprimons les classes à gauche correspondantes, en termes du générateur mentionné ci-dessus :
$$gZ(G)=(xZ(G))^{k}\quad \text{et} \quad hZ(G)=(xZ(G))^{l}.$$Cela signifie en particulier que $g=x^{k}z$ pour un certain $z\in Z(G)$ et $h=x^{l}w$ avec $w\in Z(G)$.
Mais alors :
$$gh=x^{k}zx^{l}w=x^{k+l}zw$$tandis qu’un calcul tout à fait similaire donne :
$$hg=x^{l+k}zw$$ce qui est exactement la même chose ! Ainsi, $gh$ et $hg$ sont égaux, et $G$ est abélien.