Quotient d’un groupe et d’un sous-groupe

Non, ce n’est pas nécessairement le cas. Par exemple, avec $G=\mathbb{Z}$, les sous-groupes de $G$ sont de la forme $n\Z$ ; mais les quotients $\Z /n\Z$ ne sont pas de cette forme puisqu’ils sont finis.

Les contre-exemples dans les groupes finis sont un peu moins triviaux.