Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Racine carrée d’une matrice symétrique positive

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Solution by darktoaster · FR

Soit S∈Sn+(R)S \in \mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R})
Montrons que : ∃!R∈Sn+(R),R2=S\exists ! R \in \mathcal{S}_n^{+}(\mathbb{R}), R^{2} = S

Existence

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SS est symétrique réelle donc orthodiagonalisable par le théorème spectral pour les endomorphismes auto-adjoints. Ils existent donc P∈On(R)P \in \mathcal{O}_{n}(\mathbb{R}) orthogonale et D=diag(λi)i∈[ ⁣[1,n] ⁣]D = diag(\lambda_{i})_{i\in [\![ 1,n ]\!]} diagonale dont ses coefficients sont les valeurs propres de SS telles que S=PTDP=P−1DPS = P^{T} D P = P^{-1}DP.
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Comme S∈Sn+(R)S \in \mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R}), le spectre de SS est positif. On peut donc considérer la matrice diagonale Δ\Delta définie par Δ=diag(λi)i∈[ ⁣[1,n] ⁣]\Delta = diag(\sqrt{\lambda_{i}})_{i \in [\![1,n]\!]}.
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On pose ensuite R=PTΔPR = P^{T} \Delta P
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Cette matrice est bien une racine carrée de SS dans Sn+(R)\mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R}) :

  • R2=(P−1ΔP)2=P−1Δ2P=P−1DP=SR^{2} = (P^{-1} \Delta P)^{2} = P^{-1} \Delta^{2} P = P^{-1}DP = S
  • RT=(PTΔP)T=PTΔT(PT)T=PTΔP=RR^{T} = (P^{T} \Delta P)^{T} = P^{T} \Delta^{T} (P^{T})^{T} = P^{T} \Delta P = R, donc R∈Sn(R)R \in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})
  • RR est à spectre positif (son spectre est (λi)i∈[ ⁣[1,n] ⁣](\sqrt{\lambda_{i}})_{i \in [\![1,n]\!]}) donc R∈Sn+(R)R \in \mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R})
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Unicité

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Soit R′∈Sn+(R)R' \in \mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R}) vérifiant R′2=SR'^{2} = S. Montrons que R=R′R = R' où RR est la même matrice que celle de la phase "Existence" de la preuve. Ce qui permettra de dire que RR est la seule racine carrée de SS dans Sn+(R)\mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R}).
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Par interpolation de Lagrange, il existe un polynôme QQ vérifiant : ∀i∈[ ⁣[1,n] ⁣],Q(λi)=λi\forall i \in [\![1,n]\!], Q(\lambda_{i}) = \sqrt{\lambda_{i}}
Nous avons ainsi la relation polynomiale entre RR et SS suivante :
Q(S)=Q(P−1DP)=P−1Q(D)P=P−1diag(Q(λi))P=P−1diag(λi)P=P−1ΔP=RQ(S) = Q(P^{-1} D P) = P^{-1} Q(D)P = P^{-1} diag(Q(\lambda_{i})) P = P^{-1} diag(\sqrt{\lambda_i}) P = P^{-1} \Delta P= R
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La relation R′2=SR'^{2} = S nous dit que SS est un polynôme en R′R', par conséquent R′R' commute avec SS et plus généralement avec tout polynôme en SS donc, en particulier, avec RR.
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De plus, RR et R′R' sont des matrices symétriques réelles donc sont diagonalisables par le théorème spectral.
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Donc, comme RR et R′R' sont diagonalisables et commutent, nous pouvons alors les diagonaliser simultanément. Il existe alors une matrice P~∈GLn(R)\tilde{P} \in GL_{n}(\mathbb{R}) telle que R=P~−1ΔP~R = \tilde{P}^{-1} \Delta \tilde{P} et R′=P~−1Δ′P~R' = \tilde{P}^{-1} \Delta' \tilde{P} où Δ′\Delta' est une matrice diagonale contenant les valeurs propres de R′R'.
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En partant de l’hypothèse de départ faite sur R′R' : S=R2=R′2S = R^{2} = R'^{2}
On a : P~−1Δ2P~=P~−1(Δ′)2P~\tilde{P}^{-1} \Delta^{2} \tilde{P} = \tilde{P}^{-1} (\Delta') ^{2} \tilde{P} puis en simplifiant par P~\tilde{P} et P~−1\tilde{P}^{-1} : Δ2=(Δ′)2\Delta^{2} = (\Delta')^{2}.
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En notant par (μi)i∈[ ⁣[1,n] ⁣](\mu_{i})_{i\in [\![1,n]\!]} le spectre de R′R', la relation Δ2=(Δ′)2\Delta^{2} = (\Delta')^{2} nous dit que ∀i∈[ ⁣[1,n] ⁣],λi=μi2\forall i \in [\![1,n]\!], \lambda_i = \mu_{i} ^2.
Comme le spectre de R′R' est positif car R′∈Sn+(R)R' \in \mathcal{S}_{n}^{+}(\mathbb{R}), on a ∀i∈[ ⁣[1,n] ⁣],μi=λi\forall i \in [\![1,n]\!], \mu_{i} = \sqrt{\lambda_{i}}.
Ce qui permet de conclure en affirmant que Δ=Δ′\Delta = \Delta' et ainsi R = R’\fbox{R = R'}.

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